欧拉公式推导（欧拉公式的证明）
2024-06-12 08:26:00 | 玩车网
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欧拉公式推导
eix= 1 + i x - x2/2! - i x3/3! + x4/4! + i x5/5! + …
= (1 - x2/2! + x4/4! + …) + i (x - x3/3! + x5/5! + …)
又因为：
cos x = 1 - x2/2! + x4/4! + …玩车网
sin x = x - x3/3! + x5/5! + …
所以
eix = cos x + i sin x
欧拉公式的证明
用拓朴学方法证明欧拉公式 尝欧拉公式：对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体)，假 设F，E和V分别表示面，棱(或边)，角(或顶)的个数，那么 F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 证明 如图15(图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的)： (1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。 (2)去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。 (3)对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 (4)如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。 (5)如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。 (6)这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 (7)因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。 (8)如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 即F′-E′+V′=1 成立，于是欧拉公式： F-E+V=2 得证。
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